Cómo convertir binario en decimal (y viceversa)

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Los humanos pasaron los últimos cinco milenios y medio inventando más de 100 formas diferentes de escribir números.

Con el debido respeto a los números romanos, la técnica favorita del mundo en este momento es, por un amplio margen, el sistema decimal moderno. Sus usuarios pueden expresar cualquier número entero que quieran con solo 10 pequeños caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Pero su computadora adopta otro enfoque.

Las computadoras portátiles, los teléfonos inteligentes y otros dispositivos se basan en código binario. Un lenguaje matemático, el binario transmite instrucciones a estos artilugios de alta tecnología. Le dice a su computadora cómo suena la voz de un podcaster, qué colores deben aparecer en un video de YouTube y cuántas letras se usaron en ese correo electrónico que acaba de enviar su jefe.

Sabes. Cosas importantes como esa.

El código binario hace honor a su nombre. A diferencia del sistema decimal, solo usa dos tipos de dígitos, que los programadores llaman “bits”. Por lo general, hay “0” y hay “1”. Y eso es todo.

Hoy, le mostraremos cómo convertir un número binario en el sistema decimal más familiar. Entonces, como buen mago, haremos exactamente lo contrario.

No te preocupes. Con un poco de paciencia, puedes dominar este “truco” y divertirte haciéndolo.

Conozca sus exponentes

Técnicamente, 0 y 1 son los únicos bits que necesitas para escribir números binarios. Pero para darles sentido, debe comprender un tercer valor: 2.

Es mejor si explicamos esto a modo de ejemplo. El número 138 se expresa correctamente en código binario como “10001010”.

¿Cómo puede su computadora decir que esta aparente cadena de galimatías significa “138”?

La programación es parte de la respuesta. Alguien le ha informado a su dispositivo que, en este caso, el código binario deletrea un número en lugar de una palabra u oración escrita; hay un método separado para decodificar este último.

Una vez que se establece este hecho básico, el código funciona asignando un exponente diferente de 2 a cada bit individual (es decir, cada 0 y cada 1).

Un exponente es un valor multiplicado por sí mismo un cierto número de veces. Entonces, 2 elevado a la tercera potencia, escrito como 23, es 2 x 2 x 2, que es igual a 8.

Por favor, disfrute de la siguiente lista de poderes de 2. Confía en nosotros, querrás revisar esto pronto.

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 256

29 = 512

210 = 1024

Conversión de binario a decimal

Ahora volvamos a nuestro número binario original: 10001010

Si el inglés es su lengua materna, prepárese. Estás a punto de luchar contra tus instintos. Mira, el inglés escrito se lee de izquierda a derecha. Pero ahora, tenemos que descomponer ese número binario yendo en la dirección opuesta: de derecha a izquierda.

En cualquier número binario, el bit que está más a la derecha debe multiplicarse por 20. Luego, el bit que está inmediatamente a la izquierda se multiplica por 21.

A continuación, el bit a su izquierda se multiplica por 22. Y así sucesivamente.

¿Notas un patrón aquí? Los exponentes individuales de 2 se utilizan en orden ascendente, de derecha a izquierda.

Bien, ahora nuestro trabajo es mantener ese patrón hasta que hayamos emparejado un exponente de 2 con cada bit, cada 0 y 1, en el número binario.

Nos detendremos una vez que el bit final, el que está en el extremo izquierdo, se haya multiplicado por el exponente apropiado de 2.

Una forma útil de mantener las cifras correctas es alinear físicamente los exponentes sobre sus bits binarios correspondientes en una hoja de papel. Idealmente, debería verse algo como esto:

Buen material. Muy bien, ahora volvamos a la conversión real.

Debido a que 10001010 contiene 8 bits individuales, vamos a hacer 8 problemas de multiplicación separados. Comencemos con el 0 en el extremo derecho.

¿Cuánto es 0 x 20? La respuesta correcta es 0.

Un problema menos, faltan siete. Mover un espacio a la izquierda. ¿Ves el “1” allí? Bueno, 1 x 21 = 2. Ahora muévete otro espacio más a la izquierda. Si lo hace, le dará 0 x 22, que es igual a 0.

Si continúa usando este patrón, procediendo desde el extremo derecho hasta el extremo izquierdo, esto es lo que descubrirá:

0x20 = 0

1 x 21 = 2

0x22 = 0

1 x 23 = 8

0x24 = 0

0x25 = 0

0x26 = 0

1×27 = 128

¡Espera, ya casi llegamos a la meta!

Toma los resultados de todos esos problemas de multiplicación y súmalos. No multiplicar, sumar. ¿Comprensión?

¿A qué equivale 0 + 2 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 + 128?

Antes de responder eso, deshagámonos de todos esos ceros. No los necesitamos en un problema de suma. Todo lo que realmente tenemos que hacer es resolver este rompecabezas:

2 + 8 + 128 = ?

¿Adivina qué? La respuesta final es 138. ¡Felicitaciones, hemos cerrado el círculo! Ve a dar una vuelta de la victoria.

Tenga en cuenta que 138 es un número entero. Existe una técnica para convertir números con un componente fraccionario, como 0,25 y 3,14, en binario. Pero revelación completa: es un poco complicado. Si eso no le molesta y desea obtener más información, el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE) ha publicado un método de conversión estandarizado.

Aquí hay un widget útil para ayudarlo con las conversiones.

Conversión de decimal a binario

Habiendo cambiado “10001010” a “138”, es hora de revertir nuestro proceso. Suponga que comenzó con 138 y tuvo que convertirlo a binario. ¿Como lo harias?

Una vez más, los exponentes son la clave de todo el asunto.

Echa otro vistazo a nuestra lista de “potencias de 2”. Encuentra el valor que más se acerque a 138 sin excederlo.

Una relectura rápida nos dice que 138 se encuentra entre 256 (que es 28) y 128 (que es 27).

Ahora, vamos a restar 128 de 138. Esta es la ecuación:

138 – 128 = 10

Luego, tome ese 10 y eche un segundo vistazo a la lista de exponentes. La potencia de 2 que más se acerca a igualar 10 es 23 u 8. Entonces, en este punto, nuestro trabajo es restar 8 de 10. Así:

10 – 8 = 2

¿Y qué sabes? El número 2 es igual a 21.

Este proceso nos dio tres cifras importantes: 128, 8 y 2. Nuestro siguiente objetivo es sumarlas.

128 + 8 + 2 = 138.

Encuentra una hoja de papel si aún no lo has hecho. Escribe el valor de cada exponente de 2 comenzando con “128” (recuerda, eso es 27) y “1” (que es igual a 20). Haz esto en orden descendente de izquierda a derecha. Y asegúrese de dejar algo de espacio entre cada número.

Tus garabatos deberían verse así:

128 64 32 16 8 4 2 1

Como puede ver, hay ocho valores individuales enumerados aquí. Dibuje una flecha hacia abajo (↓) debajo de cada valor.

Luego consulta el problema de suma que escribimos arriba, el que dice 128 + 8 + 2 = 138

¿Ves un “128” en ese problema? Si es así, escribe un “1” debajo de la flecha correspondiente. ¿Hay un “64” escrito en la ecuación? ¡No! Debajo de esa flecha, vamos a escribir un “0”. Mantén el mismo patrón y obtendrás esto:

¿Parecer familiar? Nos quedamos con 10001010, y como ya hemos establecido, eso significa “138”.

Ahí vas. Nuestro proverbial mago ha hecho desaparecer al conejo y lo ha vuelto a traer. ¡Zanahorias por todas partes!

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